ЧИСЛЕННОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОГО УСЛОВИЯ
В ЗАДАЧАХ КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 

Бойков Илья Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40),boikov@pnzgu.ru
Рязанцев Владимир Андреевич, кандидат технических наук, доцент, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), math@pnzgu.ru 

519.633 

DOI

10.21685/2072-3040-2020-3-6

Актуальность и цели. Теория решения обратных задач математической физики является одним из наиболее активно развивающихся разделов современной математики. Интерес исследователей к таким задачам обусловлен в первую очередь большим количеством их приложений, появившихся в последние годы в связи с бурным развитием физики и техники. Несмотря на большое количество методов решения обратных задач, в настоящее время попрежнему велика потребность в дальнейшей разработке новых методов решения, учитывающих некорректность ряда обратных задач. В данной работе предлагаются численные методы решения одного класса обратных задач, а именно задач восстановления начальных условий для уравнений параболического и гиперболического типов.
Материалы и методы. Методика построения численных методов решения задач восстановления начальных условий для линейных параболических и гиперболических уравнений заключается в следующем. По известным формулам обобщенного решения линейных параболических и гиперболических уравнений выполняется переход к эквивалентным исходным задачам линейным интегральным уравнениям первого рода, которые затем решаются приближенно при помощи непрерывного операторного метода. Для этого составляется и решается вспомогательная система линейных дифференциальных уравнений, которая затем решается численным методом Эйлера. При этом на численных примерах показывается, что за счет подходящего числа шагов метода Эйлера может быть достигнута (в случае необходимости) регуляризация решения задачи. Сходимость метода обосновывается в терминах теории устойчивости решения дифференциальных уравнений.
Результаты. Построены численные методы приближенного решения задачи о восстановлении начального условия для линейных параболических и гиперболических уравнений. Авторам удалось успешно применить непрерывный операторный метод к решению вышеупомянутой задачи. Решение ряда модельных примеров показало эффективность предложенных результатов.
Выводы. Предложены эффективные численные методы решения одного класса обратных задач математической физики, а именно задачи восстановления начального условия в задачах Коши для линейных уравнений гиперболического и параболического типов. На численных примерах показано, что непрерывный операторный метод с успехом может быть применен к решению указанных типов обратных задач математической физики. 

Ключевые слова

параболические уравнения, гиперболические уравнения, обратные задачи, начальное условие, регуляризация.

 Скачать статью в формате PDF

1. Алифанов, О. М. Обратные задачи теплообмена / О. М. Алифанов. – Москва : Машиностроение, 1988. – 280 с.
2. Алифанов, О. М. Экстремальные методы решения некорректных задач и их приложения к обратным задачам теплообмена / О. М. Алифанов, Е. А. Артюхин, Е. А. Румянцев. – Москва : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. – 288 с.
3. Бек, Дж. Некорректные обратные задачи теплопроводности / Дж. Бек, D. D. Р. Б. Блакуэлл, Ч. Сент-Клер мл. – Москва : Мир, 1989. – 312 с.
4. Латтес, Р. Метод квазиобращения и его приложения / Р. Латтес, Ж. Л. Лионс. – Москва : Мир, 1970. – 336 с.
5. Moment Theory and Some Inverse Problems in Potential Theory and Heat Conduction / D. D. Ang, R. Gorenflo, V. K. Le , D. D. Trong. – Springer, 2002. – 183 p.
6. Özisik, M. N. Inverse Heat Transfer. Fundamentals and applications / M. N. Özisik , H. R. B. Orlande. – New York : Taylor & Francis, 2000. – 330 p.
7. Кабанихин, С. И. Обратные и некорректные задачи / С. И. Кабанихин. – Новосибирск : Сибирское научное издательство, 2009. – 457 с.
8. Hasanov Hasanoğlu, A. Introduction to Inverse Problems for Differential Equations / Hasanoğlu A. Hasanov, V. G. Romanov. – Springer International Publishing AG, 2017. – 261 p.
9. Самарский, А. А. Вычислительная теплопередача / А. А. Самарский, П. H. Вабищевич. – Москва : Едиториал УРСС, 2003. – 784 с.
10. Самарский, А. А. Итерационное решение ретроспективной задачи теплопроводности / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич, В. Н. Васильев // Математическое моделирование. – 1997. – Т. 9, № 5. – С. 119–127.
11. Самарский, А. А. Численные методы решения обратных задач математической физики / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич. – Москва : ЛКИ, 2009. – 480 с.
12. Кабанихин, С. Н. Численный метод решения задачи Дирихле для волнового уравнения / С. Н. Кабанихин, О. И. Криворотько // Сибирский журнал вычислительной математики. – 2012. – Т. 15, № 4. – С. 90–101.
13. Optimization Method in Dirichlet Problem for Wave Equation / S. I. Kabanikhin, M. A. Bektemesov , D. B. Nurseitov, O. I. Krivorotko, A. N. Alimova // J. Inverse IllPosed Probl. – 2012. – Vol. 20, № 2. – P. 193–211.
14. Васильев, В. И. Итерационный метод решения задачи Дирихле и ее модификаций / В. И. Васильев, А. М. Кардашевский, В. В. Попов // Математические заметки СВФУ. – 2017. – Т. 24, № 3. – С. 38–51.
15. Бойков, И. В. Об одном непрерывном методе решения нелинейных операторных уравнений / И. В. Бойков // Дифференциальные уравнения. – 2012. – Т. 48, № 9. – С. 1308–1314.
16. Бойков, И. В. Об одном приближенном методе определения коэффициента теплопроводности / И. В. Бойков, В. А. Рязанцев // Журнал Средневолжского математического общества. – 2019. – Т. 21, № 2. – С. 149–163. – DOI 10.15507/2079- 6900.21.201902.149-163.
17. Бойков, И. В. О численном решении коэффициентной обратной задачи для гиперболических уравнений / И. В. Бойков, В. А. Рязанцев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2019. – № 3. – С. 47–62. – DOI 10.21685/2072-3040-2019-3-4.
18. Бойков, И. В. О применении непрерывного операторного метода к решению прямой задачи для нелинейных параболических уравнений / И. В. Бойков, В. А. Рязанцев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2020. – № 1. – С. 97–112. – DOI 10.21685/2072-3040-2020-1-8.
19. Boykov, I. V. On an iterative method for solution of direct problem for nonlinear hyperbolic differential equations / I. V. Boykov, V. A. Ryazantsev // Журнал Средневолжского математического общества. – 2020. – Т. 22, № 2. – С. 155–163. – DOI 10.15507/2079-6900.22.202002.
20. Полянин, А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики / А. Д. Полянин. – Москва : Физматлит, 2001. – 576 с.